2020年11月18日

数学 定理 名前 8

\geq 2\left\{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)+f\left(\dfrac{y+z}{2}\right)+f\left(\dfrac{z+x}{2}\right)\right\}$, ※より厳密に言うと「$f$ は区間 $I\subseteq\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への関数で,$x,y,z$ は区間 $I$ に含まれる任意の実数」, Hlawka’s Inequality: →無限降下法の整数問題への応用例, 「美しい」公式をまとめていて,僕がどのような公式を美しいと感じるのか規則性が見えてきました。上のリストは僕の独断と偏見に基づいていますが,定理が美しいと思う感覚はみんな似ているような気がします。, 公式が美しい→公式が「自明でない」かつ「単純な形」 ぶんすうを たしひきすると あらふしぎ しぜんたいすう でてきちゃったよ, 6:攪乱順列の公式 Baker-Campbell-Hausdorffの公式(行列の指数関数に関する公式)もかなり強いです。, 安定マッチングについては→安定マッチングとGale-Shapleyアルゴリズム。リンク先は男性と女性の人数が等しい場合を考えていますが,男性と女性の人数が等しくない場合に絶望の定理が発動します。意訳すると,結婚できないのは運のせいじゃなくて本人のせいということです。. 面白い性質と規則性を持った数列です。. ただし,ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。, Muirheadの不等式: 数学の定理の中でいろいろな意味で強いものをピックアップしました。「この定理よりあの定理の方が相応しいと思う」という意見歓迎です。読者の方のご意見を参考に更新したいと思っています。, ピタゴラスの定理:$\angle A=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について $AB^2+AC^2=BC^2$, 1/6公式:放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=px+q$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta\:(\alpha < \beta)$ とおくとき,放物線と直線で囲まれた部分の面積は, 複数分野にまたがって共通の性質が成り立つというのが数学のおもしろさです。, 5:log2に収束する交代級数の証明 $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2$, ルジャンドルの定理 とにかく美しい数学の公式・定理を整理しました。フランクモーリーの定理・フェルマーの最終定理・Weitzenbockの不等式などなど代数から図形まで幅広く扱いました。 9は圧倒的に自信がありますが,あとは異論あるかと思います。Twitterかメールで意見ください!.

$f(x)$ が下に凸な関数のとき,任意の $x,y,z$ に対して(※),, $f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)\\ 僕は面積比を利用したチェバの定理の証明が大好きです。, 8:フェルマーの最終定理: $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$, データ群の特徴を一つの数値で表したものを代表値と呼ぶ。代表値の中でも平均値,中央値,最頻値が有名。, 恒等式 数学の定理の中でいろいろな意味で強いものをピックアップしました。「この定理よりあの定理の方が相応しいと思う」という意見歓迎です。読者の方のご意見を参考に更新したいと思っています。 1.有名な定理 オイラーと名のつく定理は美しいものが多いですがその中でもこれは外せません。, 3:Weitzenbockの不等式 もんもーる くみあわせのかず かぞえたら ねいぴあすうが でてきちゃったよ, 7:チェバの定理の3通りの証明 (ただし,行列の積が定義できるような適切なサイズ,および $A$ などの逆行列の存在を仮定), →逆行列の補助定理(Woodburyの恒等式)。定理名を口ずさみたいですね。 $B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}$,$C=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}$, ピタゴラス数に関する非常におもしろい定理です。この定理の主張と証明を詳しく解説します。, この記事では,超幾何級数について紹介します。いくつか例を見ながら,超幾何級数に慣れ親しみましょう。, 当サイトの管理人が,ルール(定義)と事実(定理)をきちんと区別してほしい! というテーマで、算数の本を出版しました。, 自信作です。(特に,数学があまり得意でない方に)書店にて中身を確認していただければ嬉しいです。, Popoviciu の不等式:

${\rm sin}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\{\rm cos}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ {\rm tan}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$, 三角錐,四角錐,円錐などの錐体の体積は $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ $\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$, →放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式。高校数学で役立つという意味です。実生活で役立つという意味ではありません。, $\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots =\dfrac{\pi^2}{6}$, →バーゼル問題の初等的な証明。高校数学の範囲で証明できます!

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